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Hosoya index

Hosoya indexはマッチングの総数
完全グラフのそれはなぜか標準盤の総数と一致するらしい
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完全数についての一考察

春鹿「....出来た」

春兎「何が」

春鹿「全ての偶完全数の1桁目は6か8であることの証明が」

春兎「お,おう.姉さんしばらくPrologにハマってたのに何でまた突然」

春鹿「気晴らしさ.まぁ読めよ」


定理: 全ての偶完全数の1桁目は6か8である.

偶完全数の素因数分解はnを自然数として(2^(n-1))(2^n - 1)の形に限られ,また2^n - 1は素数である(Eulerによる).
2^n - 1が素数になるには,nは素数でなければならない.(∵2^(ab) − 1 = (2^a − 1){1 + 2^a + 2^(2a) + ... + 2^((b−1)a)})
n=2とすると,(2^(2-1))(2^2-1)=6となり,命題は成立している.
以降,nが奇数であると仮定する.
mを自然数,nを10m+(1桁の自然数)の形に書くとすると,10m+1,10m+3,10m+7,10m+9の形に限られる.
さらに,m=0の場合,nは1か3か7か9であるが,そのうち3か7のみが素数である.

n=3の場合
(2^(n-1))(2^n - 1)=(2^(3-1))(2^3 - 1)=28

n=7の場合
(2^(n-1))(2^n - 1)=(2^(7-1))(2^7 - 1)=8128

上記の場合は,命題は成立している.以下では,mが0でない場合について書く.

n=10m+1の場合
(2^(n-1))(2^n - 1)=
(2^(10m+1-1))(2^(10m+1) - 1)=(2^(10m))(2^(10m+1) - 1)
=(1024^m)(2*1024^m - 1)
さて,1024^mの1桁目について考える.
1024の1桁目は4なので,1024は2乗すると1桁目は6になる.6に4をかけると1桁目は4である.
以上のことから,1024^mの1桁目は必ず4か6であることが分かる.
1024^mの1桁目が4である場合,
(1024^m)(2*1024^m - 1)は1桁目は8になる.
1024^mの1桁目が6である場合,
(1024^m)(2*1024^m - 1)は1桁目は6になる.
よって,n=10m+1のとき命題は成立する.

n=10m+3,10m+7,10m+9のいずれも上記の同様の方法で証明できる.
Q.E.D.


春兎「うわぁ,泥臭い計算だなー」
春鹿「そんなもんでしょ.まぁ奇完全数は存在性を含めて今後の課題ということで」

元素記号しりとり

元素記号しりとりProlog暫定版.
探索遅くてクソofクソ.
次はもうちょっと工夫してやるね.


last(L, X) :- append(_, [X], L).
first([X|_], X).
cons(A,B,[A|B]).

%elem([h]).
elem([h,e]).
elem([l,i]).
elem([b,e]).
elem([b]).
elem([c]).
elem([n]).
elem([o]).
elem([f]).
elem([n,e]).
elem([n,a]).
elem([m,g]).
elem([a,l]).
elem([s,i]).
elem([p]).
elem([s]).
elem([c,l]).
elem([a,r]).
elem([k]).
elem([c,a]).
elem([s,c]).
elem([t,i]).
elem([v]).
elem([c,r]).
elem([m,n]).
elem([f,e]).
elem([c,o]).
elem([n,i]).
elem([c,u]).
elem([z,n]).
elem([g,a]).
elem([g,e]).
elem([a,s]).
elem([s,e]).
elem([b,r]).
elem([k,r]).
elem([r,b]).
elem([s,r]).
elem([y]).
elem([z,r]).
elem([n,b]).
elem([m,o]).
elem([t,c]).
elem([r,u]).
elem([r,h]).
elem([p,d]).
elem([a,g]).
elem([c,d]).
elem([i,n]).
elem([s,n]).
elem([s,b]).
elem([t,e]).
elem([i]).
elem([x,e]).
elem([c,s]).
elem([b,a]).
elem([l,a]).
elem([c,e]).
elem([p,r]).
elem([n,d]).
elem([p,m]).
elem([s,m]).
elem([e,u]).
elem([g,d]).
elem([t,b]).
elem([d,y]).
elem([h,o]).
elem([e,r]).
elem([t,m]).
elem([y,b]).
elem([l,u]).
elem([h,f]).
elem([t,a]).
elem([w]).
elem([r,e]).
elem([o,s]).
elem([i,r]).
elem([p,t]).
elem([a,u]).
elem([h,g]).
elem([t,l]).
elem([p,b]).
elem([b,i]).
elem([p,o]).
elem([a,t]).
elem([r,n]).
elem([f,r]).
elem([r,a]).
elem([a,c]).
elem([t,h]).
elem([p,a]).
elem([u]).
elem([n,p]).
elem([p,u]).
elem([a,m]).
elem([c,m]).
elem([b,k]).
elem([c,f]).
elem([e,s]).
elem([f,m]).
elem([m,d]).
elem([n,o]).
elem([l,r]).
elem([r,f]).
elem([d,b]).
elem([s,g]).
elem([b,h]).
elem([h,s]).
elem([m,t]).
elem([d,s]).
elem([r,g]).
elem([c,n]).
elem([f,l]).
elem([l,v]).


siri([X,[]],Used,Counter,Parent,Under):-elem(X),not(member(X,Used)),Counter >= Under,write(Counter),nl,cons(X,Parent,Y),reverse(Y,Z),write(Z).
siri([X|Y],Used,Counter,Parent,Under):-
elem(X),
not(member(X,Used)),
cons(X,Used,NewUsed),
last(X,T),
first(Y,U),
first(U,T),
Newcounter is Counter+1,
cons(X,Parent,Z),
siri(Y,NewUsed,Newcounter,Z,Under).

search(X,Under):-siri(X,[],1,[],Under).

x=(cosθ)^4,y=(sinθ)^4の描き方

お久しぶりでーす。徒然なるままになんとなく上記のお題で記事を書いてみました。

さて、θを媒介変数にしてx=(cosθ)^4,y=(sinθ)^4を描くわけですが、
これを描けない人は恐らくsinとかcosとかって何?な可能性が高い。
ってことで、今日は上記の概形を描くことを目標にsinとcosのお勉強をしてみましょう。

sinとは?
cosとは?
は、おおよそ次の一枚の絵で説明が終わるんじゃないかなと思います。

三角関数基礎


言葉にすると、
sinθってのは、半径1の円を描いて中心から角度θの線を引いてやって円と交わった場所の縦座標
cosθってのは、半径1の円を描いて中心から角度θの線を引いてやって円と交わった場所の横座標


言葉だと分かりにくいから具体例を見てみましょう。
gutai

これが「sinとcosって何ぞ」です。

さて、ここまで分かればθを適当に動かして点を打っていくだけです。
ってことで、おまけとしてθに対応するsinとcosで私が覚えているのをいくつか与えておきます。
そしてx=(cosθ)^4,y=(sinθ)^4に突っ込んでみます。
まぁここは適当に流し読みでもおkですー。

θ=0
sinθ=sin0=0
cosθ=cos0=1
x=(cosθ)^4=(cos0)^4=1
y=(sinθ)^4,=(sin0)^4=0

θ=π/6
sinθ=sinπ/6=1/2
cosθ=cosπ/6=√3/2
x=(cosθ)^4=(cosπ/6)^4=9/16
y=(sinθ)^4,=(sinπ/6)^4=1/16

θ=π/4
sinθ=sinπ/4=1/√2
cosθ=cosπ/4=1/√2
x=(cosθ)^4=(cosπ/4)^4=1/4
y=(sinθ)^4,=(sinπ/4)^4=1/4

θ=π/4
sinθ=sinπ/4=1/√2
cosθ=cosπ/4=1/√2
x=(cosθ)^4=(cosπ/4)^4=1/4
y=(sinθ)^4,=(sinπ/4)^4=1/4

θ=π/3
sinθ=sinπ/3=√3/2
cosθ=cosπ/3=1/2
x=(cosθ)^4=(cosπ/3)^4=1/16
y=(sinθ)^4,=(sinπ/3)^4=9/16

θ=3π/4
sinθ=sin3π/4=1/√2
cosθ=cos3π/4=-1/√2
x=(cosθ)^4=(cos3π/4)^4=1/4
y=(sinθ)^4,=(sin3π/4)^4=1/4

θ=2π/3
sinθ=sin2π/3=√3/2
cosθ=cos2π/3=-1/2
x=(cosθ)^4=(cos2π/3)^4=1/16
y=(sinθ)^4,=(sin2π/3)^4=9/16

θ=5π/6
sinθ=sin5π/6=1/2
cosθ=cos5π/6=-√3/2
x=(cosθ)^4=(cos5π/6)^4=9/16
y=(sinθ)^4,=(sin5π/6)^4=1/16

θ=π
sinθ=sinπ=0
cosθ=cosπ=-1
x=(cosθ)^4=(cosπ)^4=1
y=(sinθ)^4,=(sinπ)^4=0

θ=7π/6
sinθ=sin7π/6=-1/2
cosθ=cos7π/6=-√3/2
x=(cosθ)^4=(cos7π/6)^4=9/16
y=(sinθ)^4,=(sin7π/6)^4=1/16

θ=4π/3
sinθ=sin4π/3=-√3/2
cosθ=cos4π/3=-1/2
x=(cosθ)^4=(cos4π/3)^4=1/16
y=(sinθ)^4,=(sin4π/3)^4=9/16

θ=5π/4
sinθ=sin5π/4=-1/√2
cosθ=cos5π/4=-1/√2
x=(cosθ)^4=(cos5π/4)^4=1/4
y=(sinθ)^4,=(sin5π/4)^4=1/4

θ=3π/2
sinθ=sin3π/2=-1
cosθ=cos3π/2=0
x=(cosθ)^4=(cos3π/2)^4=0
y=(sinθ)^4,=(sin3π/2)^4=1

θ=7π/4
sinθ=sin7π/4=-1/√2
cosθ=cos7π/4=1/√2
x=(cosθ)^4=(cos7π/4)^4=1/4
y=(sinθ)^4,=(sin7π/4)^4=1/4

θ=11π/6
sinθ=sin11π/6=-1/2
cosθ=cos11π/6=√3/2
x=(cosθ)^4=(cos11π/6)^4=9/16
y=(sinθ)^4,=(sin11π/6)^4=1/16

θ=2π
sinθ=sin2π=0
cosθ=cos2π=1
x=(cosθ)^4=(cos2π)^4=1
y=(sinθ)^4,=(sin2π)^4=0


ふう、疲れた。
んでもって、↑に挙げた点を全部打つと
points.png

す、少ねぇ!!
まぁ仕方ないですねー。同じ点が多くなってしまったので。
そしてそれをそれっぽく曲線でつなぐと

kyokusen.png

完成!

完全数

春鹿「ドン詰まりだなぁ」

春兎「また数学?」

春鹿「そりゃもちろん。アニメの円盤よりもお金かからないし、ペンと紙があればできるし」

春兎「でも姉貴、アニメの円盤も買ってるしコミケも行ってるよね。結果的に普通よりお金(ry」

春鹿「うっ・・・」

春兎「まぁいいや。で、何についてやってたの?」

春鹿「完全数よ」

春兎「完全数とは」


春鹿------------「

完全数とは、「約数の和が元の数の2倍に等しい数」のこと
例えば、

6の約数は1と2と3と6
それを全部足すと
1+2+3+6=12=6*2

28の約数は1と2と4と7と14と28
それを全部足すと
1+2+4+7+14+28=56=28*2

さて、こんな数はいくつか見つかっている。
今のところ一番大きいモノに至っては

(2^57,885,160)(2^57,885,161-1)
なんていう、頭のおかしいレベルね

」------------


春兎「そんなデカい数、どうやって探したの!?」

春鹿「もちろん、コンピュータよ」

春兎「そりゃそっか・・・」

春鹿「でも、19年もの歳月をかけて77桁の完全数をコンピュータを使わずに手計算で見つけた変態さんもいるのよ」

春兎「うわあ、執念の勝利だね」

春鹿「ところがどっこい、未だに奇数の完全数は見つかっていない」

春兎「それがあるかどうか、考えてたんだ?」

春鹿「そ。でも今日は疲れたからもう寝る。ノートまとめて今月中にあげておきたいなぁ」
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